damp_oscillator_short2.mw

 

Dæmpede svingninger (svagt dæmpet harmonisk oscillator): 

 

af  John V. Petersen                                                    09-09-2008 

 

Indledning 

Når en partikel bevæger sig påvirket af en elastisk kraft proportional med afstanden fra partiklen 

til ligevægtspunktet kaldes den en harmonisk oscillator. 

 

I dette eksempel vil vi se på dæmpede svingninger (dæmpet oscillator).  

Eksempler på dæmpede oscillatorer er: Svingningerne i en kirkeklokke der ringer, 

dæmpes af den omgivende luft. En oscillerende elektrisk ladning (en elektron),  

der dæmpes, når den udsender elektromagnetisk stråling. F.eks. i en sender. 

 

Eksemplet vi ser på: 

Svagt dæmpet svingning af en masse (m) ophængt i en fjeder. 

Dette eksempel er meget konkret og nemt at overskue. Og det giver de samme dæmpede 

svingninger som et mere kompliceret eksempel. 

 

 

 

Udæmpede svingninger 

 

Vi ser på et lod ophængt i en fjeder. Vi trækker loddet ud fra ligevægtsstillingen (hvor det hænger i ro),  

 og lader det så, i første omgang udføre udæmpede svingninger. Den tilhørende differentialligning  

 opskrives samt den tilhørende bevægelsesligning. 

 

 Image 

Vi ser på fjederen med en masse m, loddet. Fjederen er så let i forhold til massen m, at vi ser bort fra fjedermassen. 

 

Bevægelsesligningen er 

`*`(m, `*`(diff(y(t), t, t))) = `+`(`-`(`*`(k, `*`(y(t), `*`(eller))))) 

 

`+`(`*`(m, `*`(diff(y(t), t, t))), `*`(k, `*`(y(t)))) = 0 

 

Med definitionen:   

 

 

`+`(diff(y(t), t, t), `*`(`^`(omega[0], 2), `*`(y(t)))) = 0, `*`(som, `*`(har, `*`(løsningen))) 

 

y(t) = `*`(A, `*`(sin(`+`(`*`(omega[0], `*`(t)), `ϕ`)))) 

 

 

 

 

Denne oscillator vil bevæge sig uændret for evigt (se svingningsfunktionen herunder). Men det vil aldrig ske, for en virkelig oscillator. 

Friktion, i en eller anden form, vil altid optræde. Derved bremses svingningerne, og udsvinget bliver mindre og mindre som tiden går. 

 

Plot_2d 

 

Dæmpede svingninger 

Nu ser på tilfældet hvor oscillatoren bliver dæmpet pga. friktion: 

 

Vi antager, at friktionskraften er proportional med loddets hastighed v. Friktionskraften er så   

Denne proportionalitet vil gælde, tilnærmet, når en partikel bevæger sig i en væske eller i luften. 

 

Bevægelsesligningen er 

 `+`(diff(y(t), t, t), `/`(`*`(b, `*`(diff(y(t), t))), `*`(m)), `/`(`*`(k, `*`(y(t))), `*`(m)))  =  0 

 

Vi bruger definitionerne,         `≡`(`/`(`*`(b), `*`(m)), gamma), `*`(og, `*`(`≡`(`/`(`*`(k), `*`(m)), `*`(`^`(omega[0], 2))))) 

 

og får den homogene, lineære, anden ordens differentialligning med konstante koefficienter: 

 

       `+`(diff(y(t), t, t), `*`(gamma, `*`(diff(y(t), t))), `*`(`^`(omega[0], 2), `*`(y(t))))  =  0  

 

Ved dæmpede svingninger ,   

 

og løsningen er y(t) = `*`(exp(`+`(`-`(`*`(`/`(1, 2), `*`(gamma, `*`(t)))))), `*`([`+`(`*`(C, `*`(cos(`*`(sqrt(`+`(`*`(`^`(omega[0], 2)), `-`(`^`(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(gamma))), 2)))), `*`(t))))), `*`(D, `*`(sin(`*`... 

 

 

Vi ser nu på det tilfælde, som specielt interesserer os nu:   Svagt dæmpede svingninger 

 

 dvs.    

 

 Nu kan vi skrive løsningen på faseform,   

 

 y(t) = `*`(A, `*`(exp(`+`(`-`(`*`(`/`(1, 2), `*`(gamma, `*`(t)))))), `*`(sin(`+`(`*`(omega[d], `*`(t)), `ϕ`))))) 

 

 

  `*`(Vi, `*`(sætter, `*`(`ϕ`))) = `+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(Pi, `*`(og, `*`(får)))))  

y(t) = `*`(A, `*`(exp(`+`(`-`(`*`(`/`(1, 2), `*`(gamma, `*`(t)))))), `*`(cos(`*`(omega[d], `*`(t)))))) 

 

 

Vi har nu dæmpningsfaktoren   

 

 

Plot af svingningsfunktionen for en svagt dæmpet oscillator 

 

   Konkret eksempel:       y(t) = `+`(`*`(5, `*`(exp(`+`(`-`(`*`(5, `*`(`/`(`+`(`*`(8, `*`(Pi)))), `*`(t)))))), `*`(cos(`*`(sqrt(4.9), `*`(t))))))) 

 

   A = `+`(`*`(5, `*`(`^`(10, -2), `*`(m)))), `and`(omega[d] = `/`(`*`(sqrt(4.9)), `*`(s)), `≈`(`/`(`*`(sqrt(4.9)), `*`(s)), `+`(`/`(`*`(2.2), `*`(s))))), `and`(gamma = `/`(`*`(`*`(5, 2), `*`(`/`(...
A = `+`(`*`(5, `*`(`^`(10, -2), `*`(m)))), `and`(omega[d] = `/`(`*`(sqrt(4.9)), `*`(s)), `≈`(`/`(`*`(sqrt(4.9)), `*`(s)), `+`(`/`(`*`(2.2), `*`(s))))), `and`(gamma = `/`(`*`(`*`(5, 2), `*`(`/`(...
A = `+`(`*`(5, `*`(`^`(10, -2), `*`(m)))), `and`(omega[d] = `/`(`*`(sqrt(4.9)), `*`(s)), `≈`(`/`(`*`(sqrt(4.9)), `*`(s)), `+`(`/`(`*`(2.2), `*`(s))))), `and`(gamma = `/`(`*`(`*`(5, 2), `*`(`/`(... 

 

Afbildningen viser amplituden (udsvinget fra hvilestilling) som funktion af tiden. 

Du skal forstille dig, at loddet svinger op og ned ad y-aksen fra -5 til 5 (som udgangspunkt), med ligevægtspunkt ved y = 0. 

(Bemærk, at det svarer til oscillationerne i kirkeklokken eller en oscillerende elektron som udsender elektromagnetisk stråling.) 

 

Grafen viser så udsvingets størrelse mens tiden går. 

 

Plot_2d 

 

Plot_2d 

 

 

 

   

Afsluttende bemærkninger 

I starten af dette dokument nævnte jeg et par eksempler på dæmpede oscillatorer.  

Det ene eksempel nævnte svingningerne i en kirkeklokke der ringer. Her dæmpes svingningerne af den omgivende luft.Når en hammer slår hurtigt på en kirkeklokke, vil klokken begynde at ringe. Overfladen af klokken udfører harmoniske oscillationer med adskillige frekvenser, og, svingningerne bliver dæmpet, hovedsageligt pga. en kopling til den omgivende luft. Energien i klokkens svingninger bliver langsomt ændret til andre frihedsgrader, i lydbølger i den omgivende luft.  

Klokken udsender lydbølger, som svarer til svingningernes frekvenser. Klokken vil ringe et stykke tid.  

Det er en svagt dæmpet oscillator, med  Man kan sige, at  i dette tilfælde, beskriver koblingen mellem klokkens oscillationer og lydfeltet i den omgivende luft.